Álgebra linear Exemplos

$x + y + z = - 6$ $2 x + y - z = - 1$ $x - 2 y + 3 z = - 6$

Etapa 1

Escreva o sistema como uma matriz.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 2 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 2 & 3 & - 6 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.1.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot 1 & - 1 - 2 \cdot - 6 \\ 1 & - 2 & 3 & - 6 \end{array}]$

Etapa 2.1.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & - 1 & - 3 & 11 \\ 1 & - 2 & 3 & - 6 \end{array}]$

Etapa 2.2

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.2.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & - 1 & - 3 & 11 \\ 1 - 1 & - 2 - 1 & 3 - 1 & - 6 + 6 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & - 1 & - 3 & 11 \\ 0 & - 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.3

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- 1$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- 1$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ - 0 & - - 1 & - - 3 & - 1 \cdot 11 \\ 0 & - 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 1 & 3 & - 11 \\ 0 & - 3 & 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.4

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.4.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} + 3 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 1 & 3 & - 11 \\ 0 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 2 + 3 \cdot 3 & 0 + 3 \cdot - 11 \end{array}]$

Etapa 2.4.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 1 & 3 & - 11 \\ 0 & 0 & 11 & - 33 \end{array}]$

Etapa 2.5

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{11}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

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Etapa 2.5.1

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $\frac{1}{11}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 1 & 3 & - 11 \\ \frac{0}{11} & \frac{0}{11} & \frac{11}{11} & \frac{- 33}{11} \end{array}]$

Etapa 2.5.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 1 & 3 & - 11 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}]$

Etapa 2.6

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

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Etapa 2.6.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 3 R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 - 3 \cdot 0 & 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & - 11 - 3 \cdot - 3 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}]$

Etapa 2.6.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 1 & - 6 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}]$

Etapa 2.7

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

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Etapa 2.7.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 0 & 1 - 1 & - 6 + 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}]$

Etapa 2.7.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & - 3 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}]$

Etapa 2.8

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.8.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 0 & 1 - 1 & 0 - 0 & - 3 + 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}]$

Etapa 2.8.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 3 \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$x = - 1$

$y = - 2$

$z = - 3$

Etapa 4

A solução é o conjunto de pares ordenados que tornam o sistema verdadeiro.

$(- 1, - 2, - 3)$